Jumat, 14 Desember 2018




A.    PENGERTIAN ROTASI
Apabila anda akan mempelajari pengertian sebuah rotasi, terlebih dahulu Anda perlu mengetahui sudut berarah dan sudut antara dua garis.

Definisi 5.1

Text Box: sebuah sudut berarah adalah suatu sudut yang salah satu kakinya ditetapkan sebagai kaki awal dan kaki lainnya sebagai kaki akhir.
 



Contoh 5.1
Diberikan ∠ABC, seperti pada gambar 5.1, apabila kaki awalnya Anda tetapkan sinar  dan kaki akhirnya sinar  maka Anda akan mendapatkan sudut berarah ABC, yang dinotasikan  ⦨ABC. Sementara itu, apabila ditetapkan kaki awalnya sinar  dan kaki akhirnya , maka anda mendapatkan sudut berarah CBA, yang notasinya ⦨CBA.
Jelas bahwa ⦨ABC ≠ ⦨CBA.

 




                                                Gambar 5.1

Text Box: Misalkan diberikan ∠ABC, maka m( ⦨ABC ) = m( ⦨CBA )Teorema 5.1


Bukti :
Karena orientasi ganda ( B, A, C ) ini bisa positif atau negatif, maka Anda tinjau apabila:
1)        Orientasi ganda ( B, A, C ) positif, akibatnya m(⦨ABC)= m(⦨ABC). Jika orientasi ganda ( B, A, C ) positif maka orientasi ganda ( B, C, A ) negatif, akibatnya m(⦨CBA) = − m(⦨ABC). Jadi m(⦨ABC) = − m(⦨CBA).
2)        Orientasi ganda ( B, A, C ) negatif, akibatnya m(⦨ABC) = − m(⦨ABC). Jika orientasi ganda ( B, A, C ) negaif, maka orientasi ganda ( B, C, A ) positif. Akibatnya − m( ⦨CBA) = m( ⦨ABC). Jadi m(⦨ABC) = − m(⦨CBA).
Definisi 5.2


Text Box: Misalkan diberikan sudut ABC, m(⦨ABC) ditetapkan sebagai besar ukuran sudut berarah ABC (⦨ABC) dan m(⦨CBA) ditetapkan sebagai besar ukuran sudut berarah CBA (⦨CBA). ))
 



                       
m( ⦨ABC ) =
 
m( ∠ABC ) jika orientasi ganda ( B, A, C ) positif
                                           − m( ∠ABC ) jika orientasi ganda ( B, A, C ) negatif

Definisi 5.3


Text Box: Misal diberikan dua garis berpotongan l dan m tidak tegak lurus. Sudut antara l dan m ditetapkan sebagai sudut lancip yang dibentuk dari kedua garis tersebut
 




Definisi 5.4


Text Box: Misalkan diberikan dua garis l dan m berpotongan tidak tegak lurus dititik A dan P titik pada l sedangkan B dan C titik-titik pada m sehingga A terletak antara B dan C. Apabila ∠PAB lancip, ditetapkan dari l ke m adalah ∠PAB, apabila ∠PAB tumpul, ditetapkan udut dari l ke m adalah ∠PAC
 












 






Gambar 5.4

Teorema 5.2

Text Box: Misalkandiberikanduagaris s dan t yang berpotongan di titik A tidaktegaklurus. Andaikan P dan Q duatitik yang berbeda dari A, maka m(<PAP”) = m(QAQ”) di mana P” = (µt◦µs)(P) dan Q” = (µt◦µs)(Q)
 




Bukti :
Ada 4 kasus, yaitu: 1) P,Q ∊ s, 2) P ∊ s, Q, ∉ s, 3) P ∉ s, Q ∊ s atau 4) P ∉ s, Q ∉ s. Untuk kasus P ∊ s, Q ∉ s, atau P ∉ s, Q ∊ s, pembuktian serupa maka dianggap kasus serupa. Sehingga hanya ada tiga kasus, yaitu :
1)        P, Q ∊ s,
2)        Salah satu dari P atau Q ∊ s, dan
3)        P ∉ s, Q ∉ s
Untuk kasus P, Q ∊ s
(µt◦µs) (A) = µt[µs(A)] = µt (A)=A. Namakan peta ini A″ = A. Karena µt, µsmasing-masing isometri dan a, Q, dan P kolinear maka A = A″, Q″, P″ juga kolinear. Akibatnya m(⦨PAP″) = m (∠QAQ″).













Gambar 5.5
 
 






Untuk kasus P ∉ s, Q ∊ s
Misal P´ = µs(P), maka m(⦨PAQ) = m(∠ QAP´). Misal P″ = µt(P´) dan B ∊ t maka m(⦨P´AB) = m(∠BAP″). Misalkan (µt◦µs)(Q) = µt[µs(Q)] = µt (Q)=Q″ maka m(⦨QAB) = m(∠BAQ″).
m(Q″AP″) = m(⦨Q″AB) – m(∠BAQ″)
             = m(⦨BAQ) – m(⦨P″AB)
             = m(⦨P´AQ)
             = m(⦨QAP)
Jadi m(⦨PAQ) = m(⦨P″AQ″)
Maka dari itu, m(∠PAP´) = m(∠QAQ”)

Gambar 5.6
 
 





Untuk kasus P ∉ s, Q ∉ s
Misal P´ = µs(P), Q´ = µs(Q), P″ = µt(P´), dan Q″ = µt(Q´). Maka m(⦨PAQ) = m(⦨BAQ) – m(⦨BAP), dengan B ∉ s.
m(⦨PAQ)   = m(⦨Q’AB) – m(⦨P’AB)
                   = m(⦨Q’AP’)
                   = m(⦨CAP’) – m(CAQ’), C ∊ t
                   = m(⦨P”AC) – m(⦨Q”AC)
                   = m(⦨P”AQ”)
Jadi, m(⦨PAP”) = m(⦨QAQ”).
Jadi, dapat disimpulkan bahwa :
m(⦨PAP”) = m(⦨QAQ”), jika P” = (µt ◦ µs)(P) dan Q” = (µt ◦ µs)(Q)

Text Box: Andaikan A sebuah titik pada bidang Euclid V dan φ sebuah bilangan real yang memenuhi -180°<φ<180°. Sebuah rotasi mengelilingi A adalah sebuah relasi ρA,φ yang ditetapkan sebagai berikut. Untuk P є V a) ρA,φ(P) = A, jika P = A b) ρA,φ(P) = P’ sehingga m∠(PAP’) = φ dan AP’ = AP jika P≠A Definisi 5.5










B.   ROTASI SEBAGAI SATUAN TRANSFORMASI
Teorema 5.3

Text Box: Misalkan ρA,φ relasi yang ditetapkan sebagai berikut. Untuksetiap P ∈ V, berlaku : a) ρA,φ(P) = A, jika P = A b) ρA,φ(P) = P’ sehingga m(∠PAP’) = φ dan AP’ = AP jika P ≠ A, maka relasi ρA,φ merupakan suatu transformasi.
 









Teorema 5.4

Text Box: Jika garis s dan t berpotongan di titik A dan sudut dari s ke t adalah 1/2φ, maka ρA,φ = µt ◦ µs
 



Teorema 5.5

Text Box: Komposisi dua pencerminan pada garis adalah suatu rotasi atau translasi
 




Bukti :
Ambil sebarang pencerinan µt dan µs. Keadaan t dan s dapat t//s atau t memotong s. Untuk t//s maka µt ◦ µs suatu translasi. Untuk t memotong s maka µt ◦ µs suatu rotasi. Jadi, komposisi dua pencerminan pada garis adaah suatu rotasi atau suatu translasi.

Text Box: Setiap rotasi adalah isometri langsung Teorema 5.6



Bukti :
Karena setiap rotasi dapat ditulis sebagai komposisi dua pencerminan dengan sumbu cermin tidak sejajar dan karena komposisi dua pencerminan adalah suatu isometri (sebab pencerminan pada garis suatu isometri). Akibatnya, setiap rotasi merupakan isometri. Untuk menunjukkan bahwa rotasi adalah isometri langsung, ambil ρA,φ = µt ◦ µs dan ganda tiga (B, C, D) berorientasi positif maka oleh µs ganda tiga (B, C, D) berorientasi negatif (sebab µs orientasi lawan). Akibatnya ganda tiga (B, C, D) oleh µt ◦ µs berorientasi positif. Jadi, µt ◦ µs tidak mengubah orientasi ganda tiga (B, C, D. Dengan demikian, µt ◦ µs suatu isometri langsung. Jadi, rotasi ρA,φ juga suatu isometri langsung.


Text Box: ρO,φ(P) = ( x cos φ - y sin φ, x sin φ + y cos φ) atau ρO,φ(P) = (■(x_1@y_1 ))= (■(cosφ&-sinφ@sinφ&cosφ))(■(x@y)) untuk P(x,y) є V dan O(0,0) Teorema 5.7






Bukti :
Misalkan m(∠AOP) = α. Karena ρO,φ(P) = P’, maka m(∠POP’)=φ dan m(∠AOP’)=α + φ.






Gambar 5.10
 
 












x = OP cos α dan y = OP sin α
sedangkan
x’   = OP cos (α + φ ) = OP (cos α cos φ – sin α sin φ )
      = (OP cos α) cos φ – (OP sin α) sin φ
      = x cos φ – y sin φ

y’   = OP sin (α + φ ) = OP (sin α cos φ + cos α sin φ )
      = (OP sin α) cos φ + (OP cos α) sin φ
      = y cos φ + x sin φ

Atau kalau ditulis secara matriks, didapat :
  


Text Box: Untuk setiap P(x,y) dan A(a,b) є V, maka: P’ = ρA,φ(P) = ((x – a)cosφ – (y – b)sinφ + a, (x – a)sinφ + (y – b) cosφ +b)) Atau ρA,φ(P) = (■(x'@y'))= (■(cosφ&-sinφ@sinφ&cosφ))(■(x-a@y-b))+(■(a@b))  Teorema 5.8









Bukti :
Perhatikan Gambar 5.11. Sistem koordinat diubah menjadi A dengan aturan : x =  + a dan y =  + b sehingga :
P() = (x – a, y – b) dan
P’() = x’ – a, y’ – b)

Gunakan Teorema 5.7 pada sistem A didapat :
 

Gunakan sistem xOy, maka didapat :
 






Gambar 5.11
 
 









Text Box: Apabila diberikan ρA,φ, maka"ρ" ^(-1) "A,φ" = ρA,-φ Teorema 5.9



Bukti :
Ambil garis s dan t pada V sehingga t ∩ s = {A} dan sudut dari s ke t adalah φ maka berdasarkan Teorema 5.4 didapat bahwa ρA,φ = µt ◦ µs dan sudut dari t ke s adalah φ. Karena  =  = ◦  = µt ◦ µs = , sebab {A} = s ∩ t dan sudut dari t ke s adalah φ.


Kelompok 4 :
-          Asiah Hanifatul Huda             (1710631050049)
-          Dias Ayu Larasati                   (1710631050061)
-          Nadhira Syahla Kamila           (1710631050124)
-          Nurul Fatimah                         (1710631050133)
-          Shelly Fitri Andini                  (1710631050156)

Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)