Makalah Geometri Transformasi "SETENGAH PUTARAN"

MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI

“Setengah Putaran”

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi salah satu Tugas Mata Geometri Transformasi Yang Diampuh Oleh Dosen Pembimbing Karina Chintya Lestari, M.Pd

Disusun oleh:

Eka Ayu Amieny       (1710631050068)

Devianti                   (1710631050059)

Hesti Nurhalimah      (1710631050086)

Sonia Aprilia Putri    (1710631050166)

Stefanus                   (1710631050169)
Wida Widianingsih    (1710631050035)

 

Kelas:

3E

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG

Jl. H. S. Ronggowaluyo Telukjambe Timur Telp.(0267)641177 Fax.(0267)641367ext. 102-Karawang 41136 website: www.unsika.ac.id email:info@unsika.ac.id

Kata Pengantar

            Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya, sehingga penyususun dapat menyelesaikan makalah “Setengah Putaran” dimana makalah ini membahas teorema-teorema mengenai setengah putaran, dan sifat-sifatnya serta ketentuannya.

            Kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, segala saran, kritik, dan masukan yang membangun sangat kami harapkan untuk menyempurnakan makalah ini. 

            Akhirnya, ucapan terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak yang telah terlibat dalam penyusunan makalah ini. Kami harapkan penyusunan makalah ini dapat bermanfaat dan mampu menambah wawasan bagi pembaca.

Karawang, 05 Desember 2018

                                                                                                                       Penulis

BAB I

PEMBAHASAN

A.  Latar Belakang

          Matematika merupakan mata pelajaran yang sangat penting, dengan Ilmu Matematika kita mengetahui adanya geometri transformasi yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.

          Didalam kehidupan sehari-hari kita seringkali menemukan peristiwa yang berhubungan dengan ilmu matematika. Seperti ketika seseorang berada di escalator, yang berubah adalah tempat atau posisi orang tersebut tidak berputar, namunescalator yang membewa orang tersebut berpindah dari atas ke bawah atau sebaliknya.

         Berdasarkan peristiwa diatas, maka penulis menyusun maklah dengan judul “Setengah Putaran”. Selain itu juga maklah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi.

B.  Rumusan Masalah

        Adapun  masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah berkaitan dengan pembuktian teorema-teorema yang berkaitan dengan materi setengah putaran.

C.  Tujuan Penulisan

1. Mengetahui teorema-teorema tentang sertengah putaran

2. Mengetahui sifat-sifat setengah putaran.

3. Dapat memahami dan mebuktikan kebenaran sifat-sifat dan teorema-teorema setengah putaran.

  D.  Manfaat Penulisan

      Adapun manfaat dari makalah ini untuk mengetahui apa itu  setengah putaran, sifat-sifatnya serta pembuktian teorema-teoremanya. Yang dapat mempermudah dalam mempelajari Geometri Transformasi. Serta sebagai bahan pembelajaran bagi Mahasiswa.

BAB II

PEMBAHASAN

A.       Sifat Dan Ketentuan

Setengah putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi, Suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu. Oleh karena itu setengah putaran juga dinamakan pencerminan pada suatu titik atau refleksi pada suatu titik. (perhatikan gambar 1)

 

 

 gambar 1

Definisi

Sebuah setengah putaran pada suatu titik  adalah suatu padanan   yang didefinisikan untuk setiap titik bidang sebagai berikut :

1) Apabila maka  sehingga  titik tengah ruas garis  

2) Untuk  , maka  

Contoh:

Diberikan  adalah titik-titik pada bidang Euclid . Lukis: 

a.         titik sehingga  

b.         titik  sehingga  

Penyelesaian: 

a.          adalah titik tengah karena  maka ada ruas garis Perpanjang ruas garis  kea rah titik  oleh ruas garis  yang ekuivalen dengen ruas garis  dimana  merupakan titik tengah ruas garis  artinya

b.         adalah titik tengah karena  maka ada ruas garis Perpanjang ruas garis  kea rah titik  oleh ruas garis  yang ekuivalen dengen ruas garis . Akibatnya akan mendapat ruas garis  dimana  merupakan titik tengahnya, artinya

Teorema 1.1

Setiap setengah putaran adalah suatu isometri.

Bukti:

Ambil titik Pyang tidak segaris.  sebagai pusat putar.

kenakan  dengan sehingga  dengan

kenakan  dengan sehingga  dengan

karena  

 (bertolak belakang)

karena  

 kongruen (s,sd,s)

Akibatnya  

Jadi setengah putaran adalah isometri.

Teorema 1.2

Andaikan   sebuah titik dan g dan h dua garis tegak lurus yang berpotongan di . Maka

Bukti:

      Karena  tegak lurus dengan maka kita dapat membuat sebuah system sumbu orthogonal dengan  sebagai sumbu dan sebagai sumbu .  dipakai sebagai titik asal. (perhatikan gambar 2)

 

 

 gambar 2

Dari gambar tersebut diketahui bahwa, jika titik  dilakukan pencerminan terhadap titik  dengan cerminan garis  dan maka hasil dari dua kali pencerminan tersebut adalah titik  itu sendiri, sehingga dapat dituliskan:

Sedangkan jika titik disetengah putarankan dengan pusat  maka hasil dari setengah putarannya adalah  itu sendiri juga (berdasarkan definisi setengah putaran). Maka:  

Teorema 1.3

Apabila garis  dan garis berpotongan tegak lurus maka

Bukti:

Ø  Jika

       (1)

       (2)

Dari persamaan 1) dan 2) didapat bahwa:

Ø  Jika P ≠ A

Jadi

Teorema 1.4

Setiap setengah putaran adalah involusi. Jika S_A adalah setengah putaran, maka

Bukti:

Ø  Jika

Jadi

Ø  Jika

Teorema 1.5

Apabila  dan  sebarang titik, maka

Bukti:

Jadi

BAB III
PENUTUP

A.  Kesimpulan 

     Rotasi adalah suatu transformasi yang memutar setiap titik pada suatu bidang. Rotasi pada bidang tersebut khususnya pada bidang datar ditentukan oleh titik pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi. Apabila arah rotasi berlawanan dengan arah putar jarum jam, arah putarnya dikatakan positif. Sebaliknya, jika arah rotasi searah dengan arah putar jarum jam, arah putarnya dikatakan negatif. Suatu rotasi dengan sudut putar   disebut rotasi satu putaran penuh, rotasi dengan sudut putar  disebut rotasi setengah putaran, dan rotasi dengan sudut putar   disebut rotasi seperempat putaran.

DAFTAR PUSTAKA

Dahim, Rasmedi Ame. 2015. Geometri Transformasi.tanggerang Selatan: Universitas Terbuka.

https://fadlibae.files.wordpress.com/2010/04/st.pdf

https://www.slideshare.net/kristalinadewi/rotasi-29152126

http://benitri.blogspot.com/2014/04/geometri-transformasi.html